Definição 1 - Uma função é um conjunto de pares ordenados cujos primeiros elementos são todos diferentes.
Definiçao 2 - Quando o valor de uma variável depende de outra, a primeira se diz função da segunda.
Definição 3 - Se a cada valor admissível de x corresponde um ou mais valores de y, então y é uma função de x
Definição 4 - Se y é uma função de x, então é igual a uma expressão algébrica de x.

A definição de "função" foi examinada em vinte textos elementares de álgebra. Onze desses textos foram publicados antes de 1959, nove após 1959. Os textos mais antigos usaram as definições 2, 3, 4 e outras; seis dos mais recentes usaram a definição 1.

Foram examinados quinze textos universitários de álgebra, sete publicados antes de 1959 e oito após 1959. Nenhum dos textos antigos usou a definição 1; quatro dos oito mais recentes usaram.

Essa história bastante recente de "função" adquire um significado ainda maior no contexto da história mais antiga da idéia e da palavra.

Eric Temple Bell sugere / (a): 32 / que se deveria creditar aos babilônios, por volta do ano 2.000 a. C., uma definição operacional de "função", devido ao uso que faziam de tabelas, com por exemplo n³  + n² , n = 1, 2, .... ,30, sugerindo a definição de que uma função é uma tabela ou uma correspondência ( entre n na coluna da esquerda e n³  + n² na da direita )

Idéias mais explícitas de função parecem ter começado por volta de René Descartes (1637), que pode ter sido o primeiro a usar o termo. Decartes definia função como significando qualquer potência de x, como x² , x³,.....

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Fonte: Baumgart, John K., Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; trad. Hygino H. Domingues - Editora Atual -  pag. 83.